Como os eventos são salvos na Time Line dos contatos, temos a opção de exportar ligações diretamente no Hubspot.
É possível fazer a exportação de uma conversa com algum contato da base de CRM seguindo os seguintes passo:
1) Acesse o contato na qual gostaria de exportar a conversa;
2) Busque pela ligação dentro da Time line;
3) Clique no seguinte ícone para expandir essa conversa em outra aba do seu navegador;
4) Clique na opção sinalizada no Print abaixo e logo após clique em Fazer o download;
Uma outra opção que temos é de fazer o dowload em massa de todas as conversas. Isso é possível usando a API de engagements. A única coisa é que essa API traria todos os contatos, incluindo emails por exemplo. Também temos a opção de call dispositions. Você pode checar essa documentação para verificar a melhor opção para a sua necessidade.
Segue também dois endpoints que podem te ajudar a conseguir esses dados:
https://developers.hubspot.com/docs/methods/engagements/get-call-dispositions
https://developers.hubspot.com/docs/methods/engagements/get_engagement